ID: 00002495
На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
a) Может ли фишка оказаться на отметке «-50», если Митя 30 раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «-50»?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «-55», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?
Источник: ФИПИ
Разберёмся, что происходит. Фишка стоит в нуле. Кубик с гранями $1,2,3,4,5,6$. Выпала чётная грань ($2,4,6$) — двигаем вправо (прибавляем). Выпала нечётная ($1,3,5$) — двигаем влево (вычитаем). Поэтому итоговая отметка = (сумма очков на чётных бросках) − (сумма очков на нечётных бросках).
Пункт а). Нужно за $30$ бросков попасть в $-50$. Достаточно показать один пример. Пусть тройка ($-3$) выпала $22$ раза, а двойка ($+2$) — $8$ раз. Сдвиг: $-3\cdot 22+2\cdot 8=-66+16=-50$, бросков $22+8=30$. Получилось, значит — да.
Пункт б). Теперь чётных и нечётных бросков поровну — пусть по $k$ штук, всего $2k$. Обозначим $S_{\text{неч}}$ — сумму очков на нечётных бросках, $S_{\text{чёт}}$ — на чётных. Надо $S_{\text{неч}}-S_{\text{чёт}}=50$ (сдвиг влево на $50$).
Сначала оценим, насколько большой может быть эта разность. На каждом нечётном броске не больше $5$ очков, поэтому $S_{\text{неч}}\leqslant 5k$. На каждом чётном — не меньше $2$, поэтому $S_{\text{чёт}}\geqslant 2k$. Значит $S_{\text{неч}}-S_{\text{чёт}}\leqslant 5k-2k=3k$. Нужно $3k\geqslant 50$, то есть $k\geqslant 17$.
Теперь чётность. Сумма $k$ чётных чисел всегда чётна; а сумма $k$ нечётных чисел имеет ту же чётность, что и $k$. Значит разность $S_{\text{неч}}-S_{\text{чёт}}$ по чётности совпадает с $k$. Число $50$ чётно, поэтому $k$ обязано быть чётным. Вместе с $k\geqslant 17$ это даёт $k\geqslant 18$.
Проверим, что $k=18$ достижимо: возьмём $16$ пятёрок и $2$ тройки (нечётные, сумма $80+6=86$) и $18$ двоек (чётные, сумма $36$); разность $86-36=50$. Всё сходится, бросков $2k=36$. Наименьшее число бросков — 36.
Пункт в). Теперь цель $-55$, чётных и нечётных по $k$, и все шесть граней выпали разное число раз. Обозначим, сколько раз выпала каждая грань: $c_1,c_2,\dots,c_6$ — это различные натуральные числа (каждая хотя бы раз). Условие: нечётных бросков $c_1+c_3+c_5=k$, чётных $c_2+c_4+c_6=k$, а сдвиг $\big(2c_2+4c_4+6c_6\big)-\big(c_1+3c_3+5c_5\big)=-55$.
Удобно выразить всё через $k$. Сумма очков на нечётных $c_1+3c_3+5c_5=5k-4c_1-2c_3$ (мы вычли разности до $5$), а на чётных $2c_2+4c_4+6c_6=2k+2c_4+4c_6$. Подставляя в $S_{\text{неч}}-S_{\text{чёт}}=55$, после упрощения получаем красивое соотношение:
$$3k=55+4c_1+2c_3+2c_4+4c_6.$$
Чтобы бросков было меньше, нужно меньшее $k$, то есть наименьшую правую часть. Числа $c_1,c_3,c_4,c_6$ различны и натуральны. Чтобы сумма $4c_1+2c_3+2c_4+4c_6$ была наименьшей, на самые большие коэффициенты ($4$ при $c_1$ и $c_6$) поставим самые маленькие значения $1$ и $2$, а на коэффициенты $2$ — следующие $3$ и $4$: получаем $4(1+2)+2(3+4)=12+14=26$. Тогда $3k\geqslant 55+26=81$, то есть $k\geqslant 27$, а бросков не меньше $2k=54$.
Покажем, что ровно $54$ броска возможны. Пусть грани $1,3,5$ выпали $1,3,23$ раза (нечётные, сумма бросков $27$), а грани $2,4,6$ — $21,4,2$ раза (чётные, тоже $27$). Сдвиг: $(2\cdot 21+4\cdot 4+6\cdot 2)-(1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 23)=70-125=-55$. Все шесть чисел $1,3,23,21,4,2$ различны. Наименьшее число бросков — 54.
а) да; б) 36; в) 54