Разберёмся, что происходит. Фишка стоит в нуле. Кубик с гранями 1,2,3,4,5,6. Выпала чётная грань (2,4,6) — двигаем вправо (прибавляем). Выпала нечётная (1,3,5) — двигаем влево (вычитаем). Поэтому итоговая отметка = (сумма очков на чётных бросках) − (сумма очков на нечётных бросках).

Пункт а). Нужно за 30 бросков попасть в -50. Достаточно показать один пример. Пусть тройка (-3) выпала 22 раза, а двойка (+2) — 8 раз. Сдвиг: -3\cdot 22+2\cdot 8=-66+16=-50, бросков 22+8=30. Получилось, значит — да.

Пункт б). Теперь чётных и нечётных бросков поровну — пусть по k штук, всего 2k. Обозначим S_{\text{неч}} — сумму очков на нечётных бросках, S_{\text{чёт}} — на чётных. Надо S_{\text{неч}}-S_{\text{чёт}}=50 (сдвиг влево на 50).

Сначала оценим, насколько большой может быть эта разность. На каждом нечётном броске не больше 5 очков, поэтому S_{\text{неч}}\leqslant 5k. На каждом чётном — не меньше 2, поэтому S_{\text{чёт}}\geqslant 2k. Значит S_{\text{неч}}-S_{\text{чёт}}\leqslant 5k-2k=3k. Нужно 3k\geqslant 50, то есть k\geqslant 17.

Теперь чётность. Сумма k чётных чисел всегда чётна; а сумма k нечётных чисел имеет ту же чётность, что и k. Значит разность S_{\text{неч}}-S_{\text{чёт}} по чётности совпадает с k. Число 50 чётно, поэтому k обязано быть чётным. Вместе с k\geqslant 17 это даёт k\geqslant 18.

Проверим, что k=18 достижимо: возьмём 16 пятёрок и 2 тройки (нечётные, сумма 80+6=86) и 18 двоек (чётные, сумма 36); разность 86-36=50. Всё сходится, бросков 2k=36. Наименьшее число бросков — 36.

Пункт в). Теперь цель -55, чётных и нечётных по k, и все шесть граней выпали разное число раз. Обозначим, сколько раз выпала каждая грань: c_1,c_2,\dots,c_6 — это различные натуральные числа (каждая хотя бы раз). Условие: нечётных бросков c_1+c_3+c_5=k, чётных c_2+c_4+c_6=k, а сдвиг \big(2c_2+4c_4+6c_6\big)-\big(c_1+3c_3+5c_5\big)=-55.

Удобно выразить всё через k. Сумма очков на нечётных c_1+3c_3+5c_5=5k-4c_1-2c_3 (мы вычли разности до 5), а на чётных 2c_2+4c_4+6c_6=2k+2c_4+4c_6. Подставляя в S_{\text{неч}}-S_{\text{чёт}}=55, после упрощения получаем красивое соотношение:

3k=55+4c_1+2c_3+2c_4+4c_6.

Чтобы бросков было меньше, нужно меньшее k, то есть наименьшую правую часть. Числа c_1,c_3,c_4,c_6 различны и натуральны. Чтобы сумма 4c_1+2c_3+2c_4+4c_6 была наименьшей, на самые большие коэффициенты (4 при c_1 и c_6) поставим самые маленькие значения 1 и 2, а на коэффициенты 2 — следующие 3 и 4: получаем 4(1+2)+2(3+4)=12+14=26. Тогда 3k\geqslant 55+26=81, то есть k\geqslant 27, а бросков не меньше 2k=54.

Покажем, что ровно 54 броска возможны. Пусть грани 1,3,5 выпали 1,3,23 раза (нечётные, сумма бросков 27), а грани 2,4,6 — 21,4,2 раза (чётные, тоже 27). Сдвиг: (2\cdot 21+4\cdot 4+6\cdot 2)-(1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 23)=70-125=-55. Все шесть чисел 1,3,23,21,4,2 различны. Наименьшее число бросков — 54.