Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00002489

Пункт а. Разложим разность четвёртых степеней и учтём $\sin^2\tfrac{x}{4}-\cos^2\tfrac{x}{4}=-\cos\tfrac{x}{2}$, а $\cos\!\left(x-\tfrac{3\pi}{2}\right)=-\sin x$:

$$-\cos\tfrac{x}{2}=-\sin x\;\Rightarrow\;\cos\tfrac{x}{2}=\sin x$$

Запишем $\sin x=2\sin\tfrac{x}{2}\cos\tfrac{x}{2}$ и вынесем $\cos\tfrac{x}{2}$:

$$\cos\tfrac{x}{2}\,(1-2\sin\tfrac{x}{2})=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos\tfrac{x}{2}=0\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\sin\tfrac{x}{2}=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi;\,- \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 4 \pi;\,- \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{11 \pi}{3}, - 3 \pi, - \frac{7 \pi}{3}, - \pi$$