ID: 00002489
а) Решите уравнение $\sin^4 \dfrac{x}{4} - \cos^4 \dfrac{x}{4} = \cos \left( x - \dfrac{3\pi}{2} \right)$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi, -\pi]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Разложим разность четвёртых степеней и учтём $\sin^2\tfrac{x}{4}-\cos^2\tfrac{x}{4}=-\cos\tfrac{x}{2}$, а $\cos\!\left(x-\tfrac{3\pi}{2}\right)=-\sin x$:
$$-\cos\tfrac{x}{2}=-\sin x\;\Rightarrow\;\cos\tfrac{x}{2}=\sin x$$
Запишем $\sin x=2\sin\tfrac{x}{2}\cos\tfrac{x}{2}$ и вынесем $\cos\tfrac{x}{2}$:
$$\cos\tfrac{x}{2}\,(1-2\sin\tfrac{x}{2})=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos\tfrac{x}{2}=0\;\Rightarrow\;x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin\tfrac{x}{2}=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi;\,- \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- 4 \pi;\,- \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{11 \pi}{3}, - 3 \pi, - \frac{7 \pi}{3}, - \pi$$
а) $x=\pi+2\pi n;\ x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $- \frac{11 \pi}{3}, - 3 \pi, - \frac{7 \pi}{3}, - \pi$