ID: 00002399
Найдите точку минимума функции $y=(x+13)^{2} \cdot e^{6-x}$
Источник: ФИПИ
Функция — произведение, поэтому используем правило $(uv)' = u'v + uv'$.
Производная $(x+13)^2$ равна $2(x+13)$, а производная $e^{6-x}$ равна $-e^{6-x}$:
$$y' = 2(x+13)e^{6-x} - (x+13)^2 e^{6-x} = e^{6-x}(x+13)\bigl(2 - (x + 13)\bigr) = -e^{6-x}(x+13)(x+11).$$
Экспонента всегда положительна, поэтому знак производной задаёт выражение $-(x+13)(x+11)$.
Нули производной: $x = -13$ и $x = -11$.
Знаки: при $x \lt -13$ произведение $(x+13)(x+11)$ положительно, с минусом — производная отрицательна, функция убывает; между $-13$ и $-11$ — производная положительна, функция растёт; после $-11$ — снова убывает.
В точке $x = -13$ убывание сменяется ростом — это точка минимума.
$$x_{\min} = -13.$$