Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00002399

Функция — произведение, поэтому используем правило $(uv)' = u'v + uv'$.

Производная $(x+13)^2$ равна $2(x+13)$, а производная $e^{6-x}$ равна $-e^{6-x}$:

$$y' = 2(x+13)e^{6-x} - (x+13)^2 e^{6-x} = e^{6-x}(x+13)\bigl(2 - (x + 13)\bigr) = -e^{6-x}(x+13)(x+11).$$

Экспонента всегда положительна, поэтому знак производной задаёт выражение $-(x+13)(x+11)$.

Нули производной: $x = -13$ и $x = -11$.

Знаки: при $x \lt -13$ произведение $(x+13)(x+11)$ положительно, с минусом — производная отрицательна, функция убывает; между $-13$ и $-11$ — производная положительна, функция растёт; после $-11$ — снова убывает.

В точке $x = -13$ убывание сменяется ростом — это точка минимума.

$$x_{\min} = -13.$$